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EQUATIONS DE LA GYROSCOPIE EXPRIMEES EN ANGLES D'EULER |
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CONTENU : Mis à jour novembre 2000, revu sept
2011 II EQUATIONS DU MOUVEMENT A L'ORDRE 1 |
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Ce
chapitre concerne l'étude fine d'un gyroscope S3, monté à 3 degrés de liberté (
Les spécialistes ne parleraient que de 2 degrés de liberté, considérant la
rotation propre axiale comme imposée ) grâce à 2 armatures de Cardan.
L'appareil est "le passager" d'une plate forme stabilisée So,
d'orientation fixe dans un repère inertiel.
1°) LA PLATE FORME :
Dans
l'immédiat disons simplement que c'est un solide So, emporté dans un véhicule (
avion, sous marin, lanceur etc...), et conservant une orientation fixe par
rapport à un repère inertiel. Ce qui ne veut pas dire que So est en translation
uniforme, simplement en translation quelconque, avec accélération et vitesse.
On
désigne ainsi, mais tout mécanicien le sait, un montage permettant à un solide
S3 de garder un point fixe par rapport à un autre solide So, tout en lui
laissant 3 degrés de liberté. Ce qui nécessite :
Une ARMATURE EXTERNE S1,
mobile suivant l'angle y par rapport à So, par une articulation rotoïde. Eventuellement un
équipement est placé sur So, avec un CAPTEUR DE VITESSE, un CAPTEUR D'ANGLE,
une électronique de traitement et un asservissement commandant un moteur Mo
agissant sur l'axe de S1, pour exercer un couple moteur d'axe Z1.Tout ce qui
concerne cette armature aura l'indice 1.
Une ARMATURE INTERNE S2,
mobile suivant l'angle q par rapport à S1, par une articulation rotoïde. Eventuellement un
équipement est placé sur S1, avec un CAPTEUR DE VITESSE, un CAPTEUR D'ANGLE,
une électronique de traitement et un asservissement commandant un moteur M1
agissant sur l'axe X2 de S2, pour exercer un couple moteur d'axe X2. Tout ce
qui concerne cette armature aura l'indice 2.
DEFINITION :
Le montage de Cardan est dit idéal lorsqu'il respecte deux conditions :
Posséder
des armatures extrêmement légères, de masse supposée négligeable et donc nulle.
Disposer
de paliers de montage, technologiquement sans frottement.
Ce qui est aisé
pour les articulations So-S1, S1-S2 puisque les mouvements relatifs seront
lents mais plus difficile pour l'articulation S2-S3 à cause de la très grande
vitesse de la toupie S3. C'est ce qui justifie la présence du système moteur
asservi M2 qui a un double rôle : le premier de lancer la toupie en rotation, le
deuxième de faire en sorte que le couple moteur Cm compense le couple de
frottement Cf, pour maintenir une vitesse angulaire constante.
Pour S3 : Cm + Cf = 0
NB :Ces 2 conditions vont assurer à la toupie S3 une
suspension qui ne perturbe pas le mouvement de S3 ( pas d'inertie et donc pas
de forces d'inertie).
REMARQUE MECANIQUE CAPITALE :
Soit un solide mobile sans
frottement (paliers A et A' parfaits) , autour d'un axe D.
Soit
un point O quelconque de l'axe de rotation
Désignons
par Mo le moment en O des forces de liaison, dont nous ne savons rien sur la
grandeur, la répartition ( ces caractéristiques dépendent du mouvement).
L'hypothèse de paliers parfaits entraîne que le torseur des actions de
liaison calculé en O, comporte une résultante inconnue R et un moment inconnu
Mo, orthogonal à l'axe D.
Donc
toute application des lois de la mécanique qui vise à obtenir une équation sans
inconnue supplémentaire oblige:
-
à ne pas utiliser le théorème du centre d'inertie, pour ne pas faire apparaître
les composantes inconnues de la résultante, sauf si naturellement on cherche à
les calculer.
-
à n'utiliser le théorème du moment cinétique que calculé en O et en
projection sur l'axe des paliers, pour faire disparaître les composantes
inconnues du moment.
Classiquement,
les 2 inconnues angulaires du mouvement sont :
L'angle de précession y , rotation de l'armature externe S1 par rapport à
So, se mesurant autour de Z1.
L'angle de nutation q , rotation de l'armature externe S2 par rapport à S1, se mesurant
autour de l'axe X2.
NB
: L'angle de rotation propre j, de S3 par
rapport à S2, dont la dérivée est maintenu constante de valeur ro, n'est pas un
paramètre.
a)
Les équipements :
L'élément
essentiel est l'armature interne S2 = Le carter = L'élément sensible = le
solide, observé par l'intermédiaire des angles y et q et de leurs dérivées premières.
Les
armatures sont donc munies de capteurs angulaires et de capteurs de vitesse
angulaire ( par exemple génératrice tachymétrique ). Ces capteurs, reliés à une
électronique adaptée, génèrent des ordres de commande des moteurs Mo agissant
sur l'axe Z1 de S1 et M1 agissant sur l'axe X2 de S2. Le moteur M2, quant à lui
contrôle la constance de la rotation toupie, à un niveau très élevé.
b)
Les efforts en jeu dans ou sur le système S1+S2+S3 :
On
distinguera 3 types d'efforts :
Efforts
connus, volontaires, soit de commande des moteurs Mo, M1, M2, soit dus à des
forces connues, appliquées sur les armatures S1 ou S2. Il est impensable
d'imaginer intervenir sur S3 qui tourne à très grande vitesse, dans un carter
étanche.
Efforts
massiques connus, provenant d'un champ de gravitation, et agissant au centre d'inertie
de S3. Ces efforts seront pris en compte notamment lorsque le centre d'inertie
G n'est pas au point de suspension O.
Efforts
inconnus, provenant des contacts mutuels So - S1, S1 - S2, S2 - S3, au niveau
des paliers et répercutant notamment une partie des efforts ci-dessus dans les
diverses parties du système. Ces efforts sont des efforts de liaison.
NOTATIONS :
Nous noterons respectivement Mo(Fex/S3), Mo(Fex/S2+S3),
Mo(Fex/S1+S2+S3), les moments extérieurs, connus des efforts exercés sur
les systèmes respectifs S3, S2+S3, S1+S2+S3, non compris ceux de liaison,
puisque dans les projections leur moment disparaît
II EQUATIONS
DU MOUVEMENT A L'ORDRE 1 :
Nous
adoptons le cadre de la gyroscopie, en considérant que les dérivées de y et q sont très
petites. Leurs vitesses ne seront prises en compte que dans le calcul du couple
gyroscopique.
1°) CAS GENERAL :
Nous
appliquerons 2 fois le théorème du moment cinétique :
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Système
S1+S2 |
En
O, en projection sur l'axe mobile X2 |
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Système
S1+S2+S3 |
En
O, en projection sur l'axe fixe Z1 |
Nous
pouvons affirmer que :
et
en dérivant dans le repère absolu, plusieurs formulations possibles:
a) Pour S1+S2+S3 :
La
projection sur l'AXE FIXE Z1 donne, compte tenu de la disparition du moment des
forces de liaison :
b) Pour S2+S3 :
Un
calcul analogue avec une projection sur l'axe X2 fournit :
c)
EQUATIONS A L'ORDRE 1 :
Les
problèmes de gyroscopie sont traités en pratique grâce aux 2 équations, dites
de l'approximation gyroscopique à l'ordre 1.
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NB 1
: De toute évidence ces équations font apparaître une singularité
mathématique pour q=0
ou p. Cette singularité provient de
l'alignement de l'axe gyro et de celui Z1 de l'armature externe. C'est une CONFIGURATION INTERDITE en usage normal.
NB 2 : Le PARADOXE GYROSCOPIQUE réapparaît de manière
évidente.
-
En effet pour "corriger" éventuellement l'angle q, il faut utiliser l'équation (2) et donc exercer un
couple non pas sur X2 mais sur Z1, c'est à dire le moteur Mo.
-
Et pour "corriger" l'angle y,
il faut utiliser l'équation (1) et donc exercer un couple non pas surZ1 mais
sur X2, c'est à dire le moteur M1.
Certains
résument cette propriété en disant du gyroscope :
"Donnez lui du q, il vous rendra du y et réciproquement "
Précisément,
c'est qui sera utilisé dans les opérations de réalignement d'un gyro.
2°) CALCUL DU MOMENT RECU PAR LE
GYRO S3 :
On
peut se demander vues les articulations S1 et S2, comment le gyro
"voit" arriver sur lui les efforts appliqués aux diverses parties.
Le
calcul est simple en utilisant le théorème du moment cinétique appliqué à S3
seul.
Ce
faisant on retrouve la formulation de l'approximation gyroscopique :
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Et
en utilisant les équations (1) et (2) il vient le moment cherché :
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NB
1:Et là encore, il apparaît la singularité d'alignement de Z1 et de l'axe gyro.
NB
2 : L'expression du moment montre bien qu'aucun couple n'existe sur l'axe gyro,
puisque les frottements sont compensés par le couple moteur.
III EXEMPLES CAPITAUX POUR LES
TECHNIQUES INERTIELLES :
1°) GYROS DE REFERENCES
INERTIELLES:
Admettons
que le montage de Cardan soit idéal et le centrage de O parfait, c'est à dire
que O est à la fois le point de croisement des axes des articulations et le
centre d'inertie du gyro.
Dans
ces conditions en l'absence de tout couple moteur le gyro ne reçoit aucun
couple et donc SON AXE RESTE INERTIELLEMENT FIXE.
a)
Mémorisation :
C'est
le premier usage d'un gyroscope monté à la Poinsot. Il permet la mémorisation
d'une direction absolue stellaire. Ainsi en mémorisant 2 directions de
l'espace( la troisième étant le produit vectoriel des 2 autres), pointant 2
étoiles parfaitement connues, on peut donc disposer à
bord de tout véhicule, d'un repère de référence absolu.
Cette
application est essentielle pour les voyages interplanétaires, les vols sans
visibilité des avions, les missions des sous marins etc...
b)
Stabilisation d'une plate forme inertielle :
Supposons
donc que l'on dispose de 3 gyroscopes parfaitement montés à la Poinsot et
alignés sur des directions absolues orthogonales, référencées par des étoiles
bien connues d'un catalogue d'étoiles.
Comment
pointer les gyros ?: Nous l'avons vu, il suffit de commander les couples
adéquats pour faire précessionner S2 en q
et y, jusqu'au bon alignement sur l'étoile
choisie.
Comment
isoler les gyros du solide à stabiliser ? : Grâce à des armatures
supplémentaires, en plus de celles déjà nécessaires au gyro lui même.
Comment
stabiliser un solide ( plate forme ) ?: Précisément au niveau des axes des
anneaux supplémentaires, on peut mesurer les rotations infinitésimales du
solide par rapport aux gyros fixes par rapport aux étoiles. La détection d'un
écart angulaire traitée par un asservissement adéquat, commandera l'action d'un
moteur qui annulera l'écart angulaire. Ainsi les axes plate forme resteront
toujours alignés sur ceux des gyros. C'est la notion de PLATE FORME STABILISEE.
NB
: On verra plus d'autres moyens de surveillance.
2°) ACCELEROMETRE GYROSCOPIQUE
:
La
deuxième grande application est celle de la mesure d'une accélération, ou de ce
qui pourrait lui ressembler.
a)
Présentation : Le montage est le même que précédemment, à la différence
que volontairement on déporte le centre d'inertie G du gyro pour le rendre sensible
aux accélérations du véhicule qui porte So.
On
souhaite mesurer l'accélération suivant l'axe Z1. Le rôle du moteur Mo est
alors de maintenir q=0, en exerçant un couple
d'asservissement G(t) sur l'axe Z1 de l'armature
externe. Il y a donc détection d'un écart angulaire et commande du couple de
contre réaction.
Faisons
une figure avec l'œil pointant la flèche de l'axe X2
b)
Mise en équations :
Toujours
la même méthode du théorème du moment cinétique appliqué en O, au système
S1+S2+S3, en projection sur l'axe X2.
Deux
difficultés apparaissent :
1-
O n'est pas le centre d'inertie
2
- O n'est pas un point fixe du repère galiléen Ra
De
plus O étant différent de G, le moment en O des forces de gravitation n'est
plus nul. On appelle F l'accélération du champ de
gravitation.
Le
lecteur achèvera les calculs de projection qui conduisent à :
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COMMENTAIRES
: Cette relation est capitale car :
Définition :Nous retrouverons plus loin cette
notion
" On appelle force spécifique f la différence entre
l'accélération d'un véhicule et celle du champ de gravitation."
Elle
montre que ce montage devient un accéléromètre, en effet, il suffit de mesurer
avec un tachymètre la vitesse angulaire de précession pour connaître la
composante sur Z1 de la force spécifique f.
Elle
permet aussi( ce sera confirmé pour d'autres appareils) de constater un
principe dit PRINCIPE DE RELATIVITE D' EINSTEIN-GALILEE, indiquant qu'on ne sait pas
mesurer directement l'accélération d'un véhicule, mais seulement sa force
spécifique f.
L'axe Z1
de cet appareil s'appellera l'axe sensible de l'appareil.
3°) BOITIER ACCELEROMETRIQUE :
Naturellement,
si sur la plate forme So on dispose de 3 systèmes identiques au précédent,
fonctionnant chacun avec un axe sensible sur l'un des axes inertiels Xa, Ya,
Za, on disposera alors d'un BOITIER ACCELEROMETRIQUE qui délivrera la FORCE SPECIFIQUE
associée au mouvement.
Nous
avons maintenant bien compris que les couples parasites étaient source de
dérives des gyroscopes. On a donc essayé de réduire au maximum les résistances
passives dans les articulations en supprimant les contacts à frottement solide.
Essentiellement
destinés au pointage et référence d'orientation pour les les centrales
ineertielles, ces gyroscopes disposent :
D'une
toupie métallique ( Béryllium par ex ), pleine ( diamètre de l'ordre du cm) ou
creuse (diamètre de "cm ), en rotation très rapide jusqu'à 3000 t/s, dans
une enceinte où règne un vide très poussé( 5 10-8 mm Hg ). L'usinage
de la toupie est opéré au micron près.
D'un
ensemble d'électrodes ( 8 par ex ), gérées par une électronique de commande,
créant un champ électrique suffisant pour sustent0er la bille jusqu'à des
facteurs de charge de 10g.
Le
champ électrique est naturellement utilisé pour le lancement, puis l'entretien
du spin de la toupie.
Il
participe aussi à l'amortissement d'éventuelles vibrations.
D'une
optoélectronique pour l'asservissement de l'axe et sa détection.
2°) SUSPENSION HYDRODYNAMIQUE
:
La
toupie d'un tel gyroscope est montée sur une rotule sphérique solidaire du
boîtier et comporte une cavité sphérique épousant à quelques microns près la
rotule.
L'entrefer
de quelques m est rempli d'un gaz peu dense ( He
ou H2 ). La rotation rapide du rotor entraîne des surpressions
locales qui sustentent la toupie.
Le
lancement, l'entretien de la rotation et les détections de position sont de
type électromagnétique.
Ces
gyroscopes sont destinés aux navigateurs inertiels.
3°) SUSPENSION DYNAMIQUE ACCORDEE
:
Cette
suspension est très difficile à expliquer et je renvoie le lecteur à la SAGEM qui
en fabrique depuis toujours. Je n'indiquerai que le principe:
Les
paliers des articulations S1-S2 et S2-S3 ne sont plus des roulements, mais
remplacés par joints de Hooke ou encore des barres de torsion élastiques.
Un
calcul complexe montre qu'à une vitesse précise dite d'accord, la raideur des
joints est compensée ( en valeur moyenne sur un tour ) par le couple des forces
d'inertie centrifuge et la suspension ne présente plus alors aucune rigidité.
Les
débattements de la toupie, en orientation, sont limités à quelques degrés.
La
condition d'accord définissant la vitesse correcte relie les caractéristiques
des barres de torsion et un moment d'inertie particulier de l'anneau interne.
On l'appelle la CONDITION DE TUNING et c'est ce qui donne à la technique le nom
de gyroscope accordé.
REMARQUES :
Il y a disparition du liquide de flottaison, le gyro
est dit "DRY GYRO"
L'usage
de ces gyros est réservé aux centrales inertielles.
Les
dérives peuvent être limitées à 0.001°/h.
Guiziou Robert novembre 2000, sept 2011
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